Logistic growth differential equations 2

6.5 Logistic Growth. How Populations grow. 지난 section 6.4 에서는 개체수의 증가율이 현재 개체수에 비례하는 지수적 증가에 대해서 알아 보았다. 지수적 증가는 짧은 기간 동안의 개체수를 추정하는데 매우 유용한 모델이다. 하지만 많은 시간이 지난 후에의 개체수를 추정하는 것에는 적합하지 않다. 지수함수의 그래프를 생각하면 시간이 흐를수록 개체수가 한없이 증가한다고 추정할 수 있기 때문이다. 그러나 인구수, 가능한 식량의 양, 혹은 거주 공간 등은 끊임없이 늘어나지 않고, 일정 수준에 도달하게 되면 그 수준에 머무르는 특성을 보여준다. 즉, 실제에 있어서 지수적 증가 모델이 장기간의 개체수 등의 추정에는 부적합하다고 할 수 있다. 기억할지 모르겠지만 우리는 section 4.3 에서 변곡점(inflection point)를 설명하면서 로지스틱 증가(logistic growth) 곡선을 본 적이 있다. 이 로지스틱 증가 곡선은 처음에는 지수적 증가과 같은 그래프를 보이지만 변곡점에서 위로 볼록(concave down)으로 바뀌면서 특정 값으로 수렴하는 그래프를 나타낸다. 따라서 로지스틱 증가가 인구수, 식량의 양, 거주 공간 등의 실제 상황에 잘 부합하는 모델이라고 할 수 있다. Partial Fractions. 로지스틱 증가 모델을 나타내는 미분방정식을 풀기 위해서는 부분분수(partial fraction)에 대한 개념이 있어야 한다. Partial Fraction decomposition with Distinct Linear Denominators. 다항식 $P(x)$ 와 $Q(x)$ 에 대해서 $P(x)$ 의 차수가 $Q(x)$ 의 차수보다 낮고, $Q(x)$ 는 일차식들의 곱으로 인수분해가 가능할 때, $f(x)=\dfrac $ 라고 하면 $f(x)$ 는 분모가 일차식인 유리식들의 합으로 표현 가능하다. EXAMPLE 1 Finding a Partial Fraction Decomposition. 부분분수를 이용하게 되면 유리식의 역도함수를 구할 때 매우 유용함을 알 수 있다. EXAMPLE 2 Antidifferentiating with Partial Fractions. EXAMPLE 3 Finding Three Partial Fractions. The Logistic Differential Equation. 이제 인구의 증가 모델을 생각해 보자. 인구는 아래 그림에서 보는 바와 같이 처음에 지수적 증가와 같이 아래로 볼록인 형태의 그래프를 보이며 빠른 속도로 증가하다가 변곡점을 지나면서 위로 볼록인 형태의 그래프를 보이며 증가 속도가 줄어들게 되어, 결국 하나의 값으로 수렴하는 형태를 보이게 된다. 이러한 곡선을 로지스틱 곡선(logistic curve)라고 부른다. 처음엔 지수적 증가와 같은 형태를 보이므로 $$\dfrac =kP\;\;(k > 0)$$ 으로 생각할 수 있지만, 이 경우 $P$ 가 최대수용량(mamimal carrying capacity) $M$ 에 도달하게 되면 증가속도가 $0$ 에 가까워진다는 것을 표현할 수 없다. 그래서 우리는 새로운 모델을 생각하게 되었고, $$\dfrac =kp(M-P)$$ 와 같은 모델을 얻게 되었다. 이 식을 로지스틱 미분방정식(logistic differential equation) 이라고 부른다. EXAMPLE 4 Logistic Differential Equation. 야생곰의 개체수 증가 모델은 미분방정식 $$\dfrac = 0.008P(100-P)$$ 로 표현된다. 시간의 단위 $t$ 가 년(year) 일 때, 다음 물음에 답하시오. (a) 이 야생곰의 개체수의 최댓값은 몇 마리라고 할 수 있는가? (b) 개체수 증가율이 가장 높을 때, 야생곰의 개체수는 몇 마리인가? (c) 개체수 증가율의 최댓값은? Solution (a) 주어진 미분방정식 모델로 본다면 개체수의 최댓값은 $100$ 마리이다. (b) $$\begin \dfrac &=0.008 \left (-P^2+100P \right )\\[10pt] &= 0.008 \left ( -(P-50)^2 +2500 \right ) \end $$ 이므로 $50$ 마리 일때 개체수 증가율이 최대가 된다. (c) $P=50$ 일 때, $$\dfrac =0.008 \times 2500 = 20$$ 이므로, 개체수 증가율이 최대일 때는 연간 $20$ 마리가 늘어난다고 할 수 있다. EXAMPLE 5 Tracking a Moose Population. 사슴 $61$ 마리를 방사한 후, 그 개체수 $P$의 증가 모델로 다음과 같은 미분방정식을 사용하였다.$$\dfrac = 0.0003P(1000-P)$$ (a) 사슴 개체수의 최댓값은 몇 마리라고 할 수 있는가? (b) 계산기를 이용하여 주어진 미분방정식에 대한 기울기 마당(slope field)를 생성하시오. (c) $P(0)=61$ 이라는 조건으로 미분방정식의 특수해를 구하시오. Solution (a) 주어진 미분방정식 모델로 본다면 개체수의 최댓값은 $1000$ 마리이다. (b) 계산기를 이용하여 생선한 기울기 마당은 다음과 같다. (c) 주어진 미분방정식은 분리가능한 미분방정식(separable differential equation)이므로 다음과 같이 풀 수 있다. $$\begin &\dfrac = 0.0003dt \\[10pt] &\int \dfrac dP = \int 0.0003 dt \\[10pt] &\int \left ( \dfrac +\dfrac \right ) dP = \int 0.0003dt \\[10pt] &\int \left ( \dfrac + \dfrac \right ) dP = \int 0.3 dt \\[10pt] &\ln P – \ln (1000-P) = 0.3t +C \\[10pt] &\ln (1000-P) – \ln P = -0.3t -C \\[10pt] &\ln \left ( \dfrac \right ) = -0.3t -C \\[10pt] &\dfrac -1 = e^ \\[10pt] &\dfrac = 1+ e^ e^ \end $$ 여기에 초기조건 $P=61$, $t=0$ 을 대입하면 $e^ \approx 15.393$ 을 얻을 수 있다. 따라서 $$\begin \dfrac &=1+15.393e^ \\[10pt] P &= \dfrac > \end $$ 이 특수해의 그래프를 기울기 마당과 함께 표시하면 다음과 같다. Logistic Growth Models. The General Logistic Formula. 미분방정식 $$\dfrac = k P(M-P)$$ 의 일반해는 $$P=\dfrac >$$ 로 주어진다. 이때, 상수 $A$ 는 초기조건(initial condition)으로부터 구할 수 있고, $M$ 은 최대수용량(carrying capacity)이며, $k$ 는 증가상수(growth constant)이다. EXAMPLE 6 Using Logistic Regression. 다음 표는 1950년과 2003년 사이에 측정된 컬럼비아 주 오로라 지역의 인구수를 보여준다. (a) 계산기를 이용하여 표의 자료를 가장 잘 나타내는 로지스틱 회귀실(logistic regression equation)을 찾고 그 그래프를 그리시오. (b) 회귀식에 의하면 오랜 시간이 흐른 후, 오로라 지역의 인구수는 점점 어느 값에 가까워 지겠는가? (c) 회귀식에 의하면 오로라 지역의 인구수가 처음으로 $300,000$명을 넘는 것은 언제인가? (d) 표에 주어진 자료를 나타내는 미분방정식을 $\dfrac =kP(M-P)$ 의 형태로 구하시오. Solution (a) 계산기를 이용하여 구한 회귀식은 $$P=\dfrac >$$ 이고, 그 그래프는 다음과 같다. (b)대략 $316,441$ 명에 가까워 지는 것을 알 수 있다. (c) 다음 식을 만족하는 $t$ 를 구하면 된다. $$\dfrac >=300,000$$ 회귀식의 그래프와 $y=300,000$ 의 교점을 조사하면 $t=59$ 에서 교점이 생기게 되고, 이는 곧 $2009$년에 오로라 지역의 인구수가 $300,000$ 명을 넘게 됨을 의미한다. (d) 회귀식으로부터 $M=316440.7$ 임을 알 수 있고, $Mk=0.1026$ 임을 알 수 있다. 따라서 $k \approx 3.24 \times 10^ $ 이 되므로 다음과 같은 미분방정식을 생각할 수 있다. $$\dfrac = \left ( 3.24 \times 10^ \right ) P (316440.7-P)$$ 다음 그림은 이 미분방정식에 대한 기울기 마당과 회귀식의 그래프를 동시에 보여주고 있다.